简称《九章》。数学著作。九卷。其成书过程相当漫长,非一人一时之所为。关于其最后定本的形成年代,本世纪以来众说纷纭,迄今未有定论,其上下限约为公元前一世纪初至公元一世纪末。论证较多的两种观点,一为公元前一世纪前半期,一为公元五十年前后。
        根据《九章算术》最早也是最重要的注释者魏晋时刘徽的观点,《九章》的远源可追溯到先秦九数,其篇目与内容都经过了长时期的演变,经西汉初期张苍、西汉中期耿寿昌等人的删补而大致成书。近年来发现了至迟到西汉初年已经成书的《算数书》,基于对于体例及内容的分析,学术界普遍认为它或者是《九章》的近源,或者二者有着共同的渊源。《汉书·艺文志》著录有“许商算术二十六卷,杜忠算术十六卷”,许多学者认为二书与《九章》有密切关系。
        “算术”一词在中国古代曾长期被用来表示当时数学的全部内容。《九章算术》采用问题集的形式,共收入246个数学问题,多数是与生产实践相联系的应用问题。每题大致由问(问题)、答(答案)、术(解题方法或过程)三部分组成,共有二百零二术,有的一题一术,有的则是一题多术或多题一术。全部问题按其性质和解法分属九章:
        第一章方田,三十八问二十一术,主要论述平面图形(地亩)的面积算法,及系统而完整的分数算法。
        第二章粟米,四十六问三十三术,主要论述四项比例算法,并给出了二十种谷物的交换比率。
        第三章衰分,二十问二十二术,配分比例。
        第四章少广,二十四问十六术,开平方、开立方及球体积。
        第五章商功,二十八问二十四术,各种立体体积的计算。
        第六章均输,二十八问二十八术,较复杂的配分比例。
        第七章盈不足,二十问十七术,用盈亏算法(双设法)解决的各种问题。
        第八章方程,十八问十九术,线性方程组解法及正负数运算法则。
        第九章勾股,二十四问二十二术,勾股定理、勾股恒等变形及测量问题。
        书中的数学内容按现代的观点可归为以下几类:
        一、数的概念与运算
        自然数的概念与运算在书中被做为熟知的内容而未专门介绍。以此为基础,首先在方田章对分数作了系统、完备的处理,包括分数的定义、约分术、分数四则运算、求平均分数等。在约分术中使用了一个基本算法——更相减损术,即今天所说的辗转相除法。在少广章中已经有意识地运用了最小公倍数,同时对于在开平方、开立方中遇到的开方不尽数已经给予专门的注意,原文为:“若开之不尽者为不可开,当以面命之。”这可以看做对无理数认识的初步阶段。但是,由于中国古代不是从是否能够表示为两个整数之比这一角度考察开方不尽数的,因此,当时对无理数的性质是否有所了解尚属可疑,在方程章中,由于加减消元法(当时称为直除法)的使用,不可避免地导致了正负数的加减运算。实际上,乘除运算在当时也已涉及,书中给出了正负数加减法的明确法则。
        二、算术与代数
        率的概念与比率算法是《九章》的核心内容之一,几乎渗透到全部篇章。书中以粟米、衰分、均翰三章的篇幅专门叙述比率的概念与算法,现代所说的正比、反比、复比、连比、配分比例等内容在书中都归一地归结为今有术(即四项比例)与衰分术(即配分比例)两大基本算法,种类齐全,理论完备。许多今天看不属于比例问题的题目也用今有衰分之术处理,有些题目则涉及等差数列。
        盈不足术是中国古代数学中求解应用问题的一种别开生面的方法,在《九章》中设有专章。为解决复杂的线性问题及一般非线性问题,通过两次假设试算,将其化为特定的盈亏类数学模型,用固定的演算程序求解。根据试算结果不同,可归结为“盈不足”、“两盈”、“两不足”、“盈适足”、“不足适足”五种三大类。最基本的是“盈不足”类问题,可表达为下面的数学模型:
        今有共买物,人出x₁(钱),盈y₁;人出x₂,不足y₂。问人数、物价各几何。
        若以x₀表示每人应出钱数,A表示人数,B表示物价,书中给出了如下公式:

        《九章》用盈不足术解决了大量复杂的线性问题,还有些问题用现代方法分析应属于二次及超越函数问题,均用这种方法求解,其原理即现在的弦位法。
        在少广章开方术、开立方术中,给出了整齐划一、代数意义十分明显的开方演算程序,稍加改造即可用以求解二次及三次方程的正根,其原理又可自然地推广到开高次方及求解一般高次方程的正根。实际上,宋元时期的数学家们正是这样做的。勾股章第二十题中需要求解一个一元二次方程。书中叙述了建立这一方程的过程,却未叙述如何解它们直接给出了答案。由于开方术可以方便地用以求解二次方程的正根,具体地描述这一解题过程已经显得重复而没有必要了。
        方程章专门用以阐明线性方程组的解法,书中使用直除法(即加减消元法)对于求解线性方程组给出了统一的演算程序,其原理与现代方法是完全一致的。
        三、面积与体积计算
        方田章给出了矩形(方田)、等腰三角形(圭田)、直角梯形(邪田)、等腰梯形(箕田)、圆(圆田)、圆环(环田)、环缺等面积的正确公式,又给出了弓形(弧田)与球冠形(宛田)面积的两个粗略的近似公式。
        商功章给出了多种棱柱、棱锥、棱台、拟柱体以及圆柱、圆锥、圆台体积的正确公式,少广章给出了一个粗略的球体积等价公式。
        四、勾股及测望理论
        勾股章首先给出了勾股定理的三种等价形式,即,若设勾、股、弦分别为a、b、c,则c=(a2⁺b2⁾_~1/2 a=(c2-^b2)^~1/2,b=(c2-a2)~1/²。然后,通过一系列问题阐发了勾股定理的应用及多种勾股恒等变形。第十～十六题为勾股容方、容圆问题,给出在勾股形中所作正方形的边长s及内切圆的直径d分别为

        第14及21题给出整勾股数的一般公式,即二次不定方程x²+y²＝z²的非零整数解为

        其中m>n>0为正整数。由于书中未对m、n的取值做明确约束,上述公式有时会得出分数解,但其基本结构与现代初等数论中的相应公式是完全一致的。这一章的其余部分是勾股测望问题,即相似勾股形比例性质的简单应用。
        《九章算术》在中国古代数学的发展过程中始终据有至高无上的地位,在世界数学史上也是屈指可数的传世名作之一。
        首先,它是中国自先秦至汉代数学发展的系统总结,标志着中国初等数学理论体系的建立,这既体现在中国传统数学做为一个构造性、机械化的算法体系的确立上,也体现在传统数学的大致分类与基本格局的确立上。
        其次,它对中国传统数学的发展产生了极为深远的影响,它的问题集的形式、问答术的结构,它对数学内容的取舍、分类与侧重,它的构造性、机械化、形数结合、注重应用的数学思想,都对后世数学的发展与数学著作的编纂产生了十分明显的规范作用,它所涉及的领域及关心的主题成为后世大量数学成果的源头。
        第三,它记载了多项遥遥领先于世界的杰出成就,并对世界数学的发展产生了重要影响。它的系统而完备的分数算法,整齐划一、便于推广的开方程序,体系严整、求解迅速的线性方程组理论,均比其他国家的相近成果早了千年以上,比例算法与正负数运算也早了五百年以上。书中的不少著名问题曾传入印度,阿拉伯甚至辗转传入欧洲,其盈不足术传入欧洲后曾长期成为占支配地位的算法。
        因此,正如许多学者已经指出的那样,以《九章算术》为代表的机械化算法体系,与以希腊《几何原本》为代表的公理化演绎体系,各擅其长,东西辉映,同为世界数学发展的两大源泉。
        鉴于《九章算术》在中国数学史上的极端重要性,历史上为之作注的学者为数众多,早期最重要的注释者有魏晋时刘徽、南北朝宋齐间祖冲之父子、唐初李淳风。祖氏父子的注释已经失传。刘、李二家注释随《九章算术》流传至今,其中刘徽的《九章算术注》被认为是中国传统数学中最富理论创见的杰作。
        刘、李注本《九章算术》在唐初被列为国子监算学馆“十部算经”之一,得以流传,在宋代有北宋元丰七年(1084年)秘书省刻本和南宋嘉定年间鲍澣之刻本。在明代有《永乐大典》据《九章》名义的分类抄录本。其后宋刻本渐次散佚,清初仅南京黄虞稷存一南宋刻本,且仅存前五章,这一残本曾先后为曲阜孔继涵、阳城张敦仁所得,今存上海图书馆,一九八○年由文物出版社影印出版。常熟毛扆于清康熙二十三年(1684年)向黄家借抄得一影宋抄本,后转入清宫,今存故宫博物院,一九三二年影印入《天禄琳琅丛书》。
        清乾隆间,戴震从《永乐大典》中抄集《九章算术》九卷,并加校勘,成为《四库全书》及武英殿聚珍版本的底本,商务印书馆刊行的《丛书集成》本即依武英殿聚珍版本排印。曲阜孔继涵刻微波榭本《算经十书》,其中《九章》以戴校本为底本,后有多种翻刻本。清代《九章》的另一重要版本为嘉庆年间钟祥李潢所撰《九章算术细草图说》,以微波榭本为底本,校正了其中很多错误文字。
        钱宝琮据各家版本对《九章》详加校勘,收他校点的《算经十书》,一九六三年由中华书局出版。在此基础上,白尚恕参考各家之说,对《九章》重加校勘,并详为注解,成《〈九章算术〉注释》三十万言,一九八三年由科学出版社出版。