《九章算术注》序

2023-02-08 可可诗词网-序跋 https://www.kekeshici.com

昔在包牺氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之术,以合六爻之变。暨于黄帝神而化之,引而伸之,于是建历纪,协律吕,用稽道原,然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数, 其详未之闻也。按周公制礼而有九数,九数之流,则《九章》是矣。

往者暴秦焚书,经术散坏。自时厥后,汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文亡遗残,各称删补。故校其目则与古或异, 而所论者多近语也。

徽幼习《九章》,长再详览。观阴阳之割裂,总算术之极源,探頣之暇,遂悟其意。是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作注。事类相推,各有攸归,故枝条虽分而本榦者,知发其一端而已。又所析理以辞,解体用图,庶亦约而触周,通而不黩,览之者思过半矣。且算在六艺, 古者以宾兴贤能,教习国子。虽曰九数, 其能穷纤入微,探测无方。至于以法相传,亦犹规矩度量可得而共, 非特难为也。当今好之者寡,故世虽多通才达学,而未能综于此耳。

周官大司徒职, 夏至日中立八尺之表,其景尺有五寸,谓之地中。说云:南戴日下五万里。夫云尔者,以术推之。按《九章》立四表望远及因木望山之术,皆端旁互见,无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。凡望极高,测绝深而兼知其远者必用重差, 句股(16)则必以重差为率,故曰重差也。立两表于洛阳之城,令高八尺。南北各尽平地,同日度其正中之景。以景差为法,表高乘表间为实,实如法而一,所得加表高, 即日去地也。以南表之景乘表间为实, 实如法而一, 即为从南表至南戴日下也。以径寸之筩(17)南望日, 日满筩空, 则定筩之长短以为股率, 以筩径为句率, 日去人之数为大股, 大股之句即日径也。虽天圆穹之象犹曰可度, 又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史笈且略举天地之物, 考论厥数, 载之地志, 以阐世术之美。辄造重差, 并为注解, 以究古人之意,缀于句股之下。度高者重表,测深者累矩,孤离者三望, 离而又旁求者四望。触类而长之, 则虽幽遐诡伏(18),靡所不入。博物君子,详而览焉。

(《算经十书》, 中华书局1963年版)

注释 ①“昔在”句——包牺氏,即伏羲氏,又号羲皇。相传从这时起结绳为网,进入渔猎经济生活。又传他和女娲氏兄妹族外相婚,始创嫁娶, 正姓氏。八卦,用“—”和“--”符号组成,以“--”为阴,以“—”为阳。它们的名称是:乾()、坎()、艮()、震()、巽()、离()、坤()、兑()。②九九之术——用以泛指数学。③六爻(yao)——爻有阴阳之别,以短线表示,断者为阴,连者为阳,是《周易》中最小的单位。将八卦中的任意两卦上下相叠而得重卦, 又简称为卦。每卦由六爻组成,是称六爻。④“于是建历纪”三句——即制定历法,创制音律,考证事物的功能与用途,探究其中的道理。⑤两仪四象——两仪即阴与阳。四象由两仪衍生而得,即少阴、少阳和老阴、老阳。⑥周公制礼——即周礼,亦称《周官》或《周官经》,儒家经典之一,是对周王室及战国时代各国制度以及儒家设计的伦理秩序的汇编。古文经学家认为是周公所制,今文经学家则认为它出于战国。近人考证说明,这是战国时代作品,伪托周公所作。⑦九数——一曰五礼,二曰六乐,三曰五射,四曰六书,五曰五驭,六曰九数。这是作为古代教育内容的六艺。其中九数即指算术。⑧张苍——西汉初大臣、历算家,以功封北平侯。精通律历,明了图书计籍。⑨耿寿昌——西汉理财家、历算家。因精通数学,曾删补《九章算术》。对天文历法亦有研究,曾以铜铸浑天仪观测天象。有《月行帛图》、《月行度》,均佚。⑩探赜 (ze)——探究微妙、深奥的地方。(11)榦(gan)——事物的主体或重要部分。(12)通而不黩——通畅顺达,但不草率。(13)宾兴贤能——以高度的礼遇来荐举和选拔人才。(14)周官大司徒职——周官即周礼。司徒是从西周开始设置的掌管土地和人民的官员。(15)重差——根据直角三角形内部的平行相似关系,推算未知距离的高、远、深。(16)句股——亦作“勾股”。直角三角形的夹直角两条边,短的称为“勾”,长的称为“股”;又在立竿测太阳高度时,标竿为“股”, 日影为“勾”。(17)筩——“筒”的异体字。(18)幽遐诡伏——幽深、遥远、诡奇、隐伏。

赏析 《九章算术》,作者不详。西汉早期著名数学家张苍、耿寿昌等对它进行过增补删订。全书九章:一、方田(38题),二、粟米(46题),三、衰分(20题),四、少广(24题),五、商功(28题),六、均输(28题),七、盈不足(20题),八、方程(18题), 九、勾股(24题), 总计246例题,系统总结了我国从先秦到两汉的数学成就。其中负数、分数计算,联立一次方程解法等都是具有世界意义的数学成就。上述成就, 比印度早八百年, 比欧洲早一千多年。当它被传入阿拉伯国家时,被称为“契丹算法” (即中国算法)。该书隋唐时传入朝鲜和日本,被定为教科书。现已译成英、日、俄等外国文字。历代多有注释, 以刘徽与李淳风的注释最为重要。

刘徽,考校度量衡,研究天文历法,精通《九章算术》,提出“齐同术”,即不同分母分数相加减,须先同分母然后分子相加减; “今有术”,即属于所谓比例类型的问题,均可依之解决; “棋验法”,即商功章各种立体积的公式和少广章开立方术、开立圆术,均用棋特制立体模型说明; “图验法”,即一切平面几何学定理均用面积图形来证明。作者对原题加以注释外,始用割圆术计算圆周率,求出π=3.1416。十进分数与上元一次方程组互乘相消法亦为首创。

刘徽为其《九章算术注》写的这篇序文, 由三部分组成:第一部分申明了为《九章算术》作注的必要性;第二部分则说明作注的原则和目的;第三部分则举要说明作者对于《九章算术》的独到的研究与发现。逻辑谨严,结构整一。

该文的价值不仅仅在于它是一部古代数学专著的序文,而且还在于它对当时的社会思想风气进行了深刻的批判,隐含着较高的思想价值。序文的第一部分揭示了玄奥的《周易》同数学之间的渊源,既说明《周易》不是空而又空、玄而又玄的精神游戏,又说明数学也不是庸俗低等的简单的计算手段。刘徽开天辟地地提出了对《周易》的科学的认识和对数学的哲学内蕴的认识。这样的看法是前无古人的。在第二部分中,作者指出“其能穷纤入微,探测无方”正是古圣先贤们用数学以“宾兴贤能,教习国子”的原因,并且不无讽刺地指出当时所谓的“通才达学”们“未必综于此”的自大、愚蠢与浅陋,说明自己著书非但为了实用,而且还为了教化世人。显然,作者批判的矛头分明是针对当时魏晋盛行的空谈玄风的,是针对当时不务实学的恶劣风气的。这说明刘徽不只是一位数学家,而且也是一位纵览时事、盱眙天下的伟大的思想家。

刘徽的学风是超俗的,其文风也是如此。魏晋之际,骈风初扇。当时文章句式多以四、六为主,排偶见长,语言错金镂彩,搜罗典故,穿凿文字,从而呈现出铺张华巧、繁复晦涩的趋向。作者的文章却独出此外,既有骈文的富丽精工,又有古文的朴茂洒脱。

作者造句骈、散并用。其中如“观阴阳之割裂,总算术之根源”是骈文中惯用的对偶。而“昔在包牺氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之术,以合六爻之变”这句话则在对偶的总体框架之中又嵌入对偶,用骈文的造句法造出来的却是不平衡的散句,把内在的严整与外在的自然和谐地统一起来。至于“建历纪,协律吕,用稽道原”分明是对排比句式的有意改造。如果写成“建历纪,协律吕, 稽道用”似无不可,然而却不及原句的灵动自然,而多了些板滞。该文在造句方面兼得整饬与自然之妙。

作者造语简净质朴。该序首段如让一般魏晋文士写来, 只恐要变成怀古颂圣、铺张扬厉的千数字以上的文章了;可是作者在这里只用了连今人都通的百余文字就说得完整、透彻。由此可见作者语言功力之深。

作者的重实务用的学风、华实相扶的文风和不堕流俗的人品都是值得我们继承和宏扬的。

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